Dans un petit bol, mélangez le lait, 1 cuillère à café de sucre et la levure. Fouettez légèrement et laissez la levure s’activer pendant environ 10 minutes, jusqu’à ce que le mélange devienne bien mousseux à la surface.
Dans le bol d’un robot pâtissier muni du crochet pétrisseur, ajoutez la farine et le reste du sucre (environ ¼ de tasse). Ajoutez ensuite le mélange de levure, l’œuf, 2 cuillères à soupe de beurre fondu, la vanille et le sel. Mélangez à vitesse lente jusqu’à ce que la pâte commence à se former, puis augmentez la vitesse à moyenne-basse et pétrissez jusqu’à obtenir une pâte lisse et homogène, environ 5 minutes. Raclez les bords et le fond du bol si nécessaire.
Formez une boule avec la pâte et déposez-la dans un bol légèrement huilé. Couvrez avec du film plastique et laissez lever dans un endroit chaud (environ 24 °C) jusqu’à ce qu’elle soit bien gonflée, pendant 1 à 1 h 30. La pâte ne doublera pas tout à fait de volume, mais elle devrait augmenter d’environ 50 %.
Transférez la pâte sur un plan de travail légèrement fariné. Étirez-la puis étalez-la en un rectangle d’environ 15 × 20 cm. Coupez la pâte en trois bandes dans le sens de la longueur (environ 5 × 20 cm chacune), puis en quatre dans le sens de la largeur afin d’obtenir douze carrés d’environ 5 cm.
Préchauffez la friteuse à air à 190 °C.
Travaillez par fournées : vaporisez le panier avec un spray de cuisson antiadhésif, puis disposez 4 à 6 carrés de pâte en laissant un peu d’espace entre chacun. Badigeonnez uniformément avec une partie des 2 cuillères à soupe de beurre fondu restantes.
Faites cuire les beignets à la friteuse à air pendant environ 6 minutes, jusqu’à ce qu’ils soient bien gonflés et dorés. Vérifiez à mi-cuisson (au bout de 3 minutes) et badigeonnez de nouveau de beurre si la coloration n’est pas homogène.
Retirez les beignets du panier et saupoudrez-les immédiatement de sucre glace. Répétez l’opération avec le reste de la pâte. Ces beignets sont meilleurs dégustés chauds : servez chaque fournée dès sa sortie de la friteuse pendant que la suivante cuit.